Вычислить расстояние между прямыми.

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

\begin{array}{c} \text { Даны уравнения } \quad \text { прямых } \quad l_{1}: \frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-5}{3} \quad \text { и } \\ l_{2}: \frac{x}{-1}=\frac{y+7}{-3}=\frac{z-2}{16} . \text { Проверить, что данные прямые скрещиваются. } \end{array}

Вычислить расстояние между прямыми.

Решение:

Шаг 1: Параметрическое представление прямых

Для прямой $l_1$ :

\frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-5}{3} = t

Отсюда получаем:

x = 2t - 1, \quad y = -t - 2, \quad z = 3t + 5

Для прямой $l_2$ :

\frac{x}{-1} = \frac{y+7}{-3} = \frac{z-2}{16} = s

Отсюда получаем:

x = -s, \quad y = -3s - 7, \quad z = 16s + 2

Шаг 2: Векторы направлений и точки на прямых

Векторы направлений:

Для $l_1$ : $\mathbf{d_1} = (2, -1, 3)$
Для $l_2$ : $\mathbf{d_2} = (-1, -3, 16)$

Точки на прямых:

Для $l_1$ : $\mathbf{A} = (-1, -2, 5)$
Для $l_2$ :...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из следующих методов является наиболее подходящим для определения того, скрещиваются ли две прямые в трёхмерном пространстве?

Проверить, что направляющие векторы прямых коллинеарны.

Вычислить смешанное произведение векторов: вектора, соединяющего точки на прямых, и направляющих векторов обеих прямых. Если оно не равно нулю, прямые скрещиваются.

Найти точку пересечения прямых, приравняв их параметрические уравнения. Если решение существует, прямые пересекаются.