Реши задачу и напиши к ней дано и чертеж Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: - Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды (OB) равно 4 см. - Угол между боковым ребром и пло...

1. Нарисуем правильную четырехугольную пирамиду ABCD с вершиной O. 2. Обозначим основание ABCD как квадрат. 3. Проведем высоту из точки O на плоскость основания ABCD, обозначим точку пересечения как H. 4. Обозначим середину основания квадрата как M. Сначала рассмотрим треугольник OBA, где: - OA - это половина диагонали квадрата основания. - OB - боковое ребро, равное 4 см. - Угол OBA = 45°. В треугольнике OBA можем использовать тригонометрические функции. Так как угол OBA равен 45°, то: \[ \tan(45°) = \frac{h}{OA} \] Так как \(\tan(45°) = 1\), то: \[ h = OA \] Теперь найдем OA. Поскольку основание - квадрат, его диагональ можно найти по формуле: \[ d = a\sqrt{2} \] где \(a\) - сторона квадрата. Поскольку OA - это половина диагонали, то: \[ OA = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Теперь, используя теорему косинусов в треугольнике OAB, мы можем выразить OA через OB и угол OBA: \[ OB^2 = OA^2 + h^2 \] Подставим значения: \[ 4^2 = OA^2 + h^2 \] Так как \(h = OA\), подставим: \[ 16 = OA^2 + OA^2 \] \[ 16 = 2OA^2 \] \[ OA^2 = 8 \] \[ OA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Теперь подставим значение OA в формулу для высоты: \[ h = OA = 2\sqrt{2} \text{ см} \] Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Площадь одного треугольника можно найти по формуле: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \] Основание треугольника - это сторона квадрата (a), а высота - это длина бокового ребра (OB), которая равна 4 см. Сначала найдем сторону квадрата (a). Мы знаем, что: \[ OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] Отсюда: \[ a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] \[ a = 4 \text{ см} \] Теперь можем найти площадь одного треугольника: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2 \] Площадь боковой поверхности пирамиды: \[ S{\text{треугольника}} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2 \] а) Высота пирамиды \(h = 2\sqrt{2} \text{ см}\). б) Площадь боковой поверхности пирамиды \(S_{\text{боковой}} = 32 \text{ см}^2\).