Чтобы решить задачу, давайте разберем её на два этапа: сначала найдем высоту пирамиды, а затем площадь боковой поверхности.
а) На...
1. :
- Боковое ребро \( OA = 6 \) см.
- Угол между боковым ребром и плоскостью основания \( \angle OAB = 30^\circ \).
2. :
Высота пирамиды \( h \) будет равна проекции бокового ребра на вертикаль. Мы можем использовать синус угла:
\[
h = OA \cdot \sin(\angle OAB)
\]
Подставим значения:
\[
h = 6 \cdot \sin(30^\circ)
\]
Зная, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \):
\[
h = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}
\]
Таким образом, высота пирамиды \( h = 3 \) см.
1. :
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех треугольников, основанием каждого из которых является сторона основания.
2. :
Обозначим сторону основания квадрата как \( a \). В правильной четырехугольной пирамиде высота \( h \) и боковое ребро \( OA \) образуют прямоугольный треугольник с половиной стороны основания:
\[
OA^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
Подставим известные значения:
\[
6^2 = 3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
\[
36 = 9 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
\[
36 - 9 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
\[
27 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
\[
\frac{a}{2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}
\]
Следовательно, \( a = 6\sqrt{3} \).
3. :
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}
\]
Основание треугольника — это сторона основания \( a \), а высота — это высота от вершины пирамиды до середины стороны основания, равная \( h \):
\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]
Подставим значения:
\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}
\]
4. :
Площадь боковой поверхности состоит из 4 таких треугольников:
\[
S{\text{треугольника}} = 4 \cdot 18\sqrt{3} = 72\sqrt{3}
\]
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 72\sqrt{3} \) см².
а) Высота пирамиды: \( 3 \) см.
б) Площадь боковой поверхности: \( 72\sqrt{3} \) см².
