2 вариант 1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 12 cm , а диагональ боковой грани - 13 cm . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Для решения задачи о правильной треугольной призме, давайте сначала разберемся с данными:

1. Боковое ребро ...

Боковая грань призмы является прямоугольником, где одна сторона равна высоте призмы (12 см), а другая сторона равна стороне основания треугольной призмы (обозначим её $a$).

По теореме Пифагора для диагонали боковой грани имеем:

$$d^2 = h^2 + a^2$$

Подставим известные значения:

$$13^2 = 12^2 + a^2$$

$$169 = 144 + a^2$$

$$a^2 = 169 - 144$$

$$a^2 = 25$$

$$a = 5 \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ рассчитывается по формуле:

$$S{основания} \cdot h$$

Где $P_{основания}$ — периметр основания. Поскольку основание является правильным треугольником, его периметр равен:

$$P_{основания} = 3a = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}$$

Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

$$S{основания} \cdot h = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

Площадь полной поверхности $S_{пол}$ призмы рассчитывается по формуле:

$$S{бок} + 2 \cdot S_{основания}$$

Сначала найдем площадь основания $S_{основания}$ правильного треугольника:

$$S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

Подставим значение $a = 5$ см:

$$S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$

Теперь подставим это значение в формулу для полной поверхности:

$$S{бок} + 2 \cdot S_{основания} = 180 + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}$$

$$S_{пол} = 180 + \frac{50\sqrt{3}}{4} = 180 + 12.5\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы составляет $180 \text{ см}^2$, а полная площадь поверхности призмы составляет $180 + 12.5\sqrt{3} \text{ см}^2$.