На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки X и Z соответственно. Отрезки CX и BZ пересекаются в точке Y. Оказалось, что пятиугольник AXYZD — вписанный в окружность, и AY=DY. Доказать, что AD и BC параллельны.

Рассмотрим окружность ω, через которую проходит вписанный пятиугольник A–X–Y–Z–D. Заметим, что AY = DY, то есть хорды AY и DY равны. По известному факту из теории окружности равенство хорд означает равенство соответствующих дуг; значит, дуга AY равна дуге YD. Отсюда следует, что точка Y является серединой дуги AD (той части окружности, которая не содержит точки X и Z).

1. Пусть дуги AY и YD равны. По теореме о равных хордах имеем, что центральные углы, опирающиеся на эти хорды, равны, а значит и хорды AY и DY равны. Поэтому Y – середина дуги AD. Это важное обстоятельство привод...