Доказать, что , где высоты треугольника, а - радиус вписанной окружности.

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Методы геометрических построений

Доказать, что , где высоты треугольника, а - радиус вписанной окружности.

Условие:

Доказать, что $\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}=\frac{1}{r}$ , где $h_{1}, h_{2}, h_{3}-$ высоты треугольника, а $r$ - радиус вписанной окружности.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC стороны равны a, b, c, а площади S. Известно, что высота, опущенная на сторону a, равна
\th₁ = (2S)/a.
Аналогично,
\th₂ = (2S)/b и h₃ = (2S)/c.

Шаг 1. Выразим обратные величины высот:
1/h₁ = a/(2S), 1/h₂ = b/(2S),...