Докажите, что является необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей и в пространстве.

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Условие:

Докажите, что $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ является необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей $\alpha_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z+d_{1}=0 \quad$ и $\alpha_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z+d_{2}=0$ в пространстве.

Решение:

Для доказательства данного утверждения необходимо показать следующие два направления:

─────────────────────────────

Необходимость: Если плоскости α₁ и α₂ параллельны, то должно выполняться равенство
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
Достаточность: Если выполняется a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, то плоскости α₁ и α₂ параллельны.
─────────────────────────────

Шаг 1. Представление плоскости через нормальный вектор

Любую плоскость можно задать уравнением
a x + b y + c z + d = 0,
где вектор n = (a, b, c) является...