1. Главная
  2. Библиотека
  3. Геометрия
  4. Игорь записал по кругу X различных натуральных чисел, к...
Разбор задачи

Игорь записал по кругу X различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 377, причем при записи чисел он руководствовался следующим принципом – сумма любых трех идущих подряд чисел не должна делиться на тройку, а вот сумма любых четырех идущих

  • Предмет: Геометрия
  • Автор: Кэмп
  • #Дискретная математика
  • #Теория чисел
Игорь записал по кругу X различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 377, причем при записи чисел он руководствовался следующим принципом – сумма любых трех идущих подряд чисел не должна делиться на тройку, а вот сумма любых четырех идущих

Условие:

Игорь записал по кругу X различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 377, причем при записи чисел он руководствовался следующим принципом – сумма любых трех идущих подряд чисел не должна делиться на тройку, а вот сумма любых четырех идущих подряд чисел обязательно должна делиться на тройку.

Мог ли Игорь выписать 270 чисел? Объясни подробно, как найти количество чисел в диапазоне от 1 до 377 включительно, которые нацело не делятся на 3.
Мог ли Игорь выписать 157 чисел?
Какое наибольшее количество чисел мог записать Игорь?.

Решение:

Дано

  1. Игорь записал по кругу XX различных натуральных чисел.
  2. Каждое число aia_i удовлетворяет условию 1ai3771 \le a_i \le 377.
  3. Условие 1 (Сумма трех): Сумма любых трех идущих подряд чисел не делится на
  4. ai+ai+1+ai+2≢0(mod3)a_i + a_{i+1} + a_{i+2} \not\equiv 0 \pmod{3}
  5. Условие 2 (Сумма четырех): Сумма любых четырех идущих подряд чисел делится на
  6. ai+ai+1+ai+2+ai+30(mod3)a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} \equiv 0 \pmod{3}
  7. Числа различны.

Найти

а) Мог ли Игорь выписать X=270X=270 чисел? б) Мог ли Игорь выписать X=157X=157 чисел? в) Какое наибольшее количество чисел XmaxX_{\text{max}} мог зап...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое ключевое свойство должно быть у остатков чисел $a_i$ по модулю 3, чтобы выполнялись условия задачи (сумма любых трех подряд чисел не делится на 3, а сумма любых четырех подряд чисел делится на 3)?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Выбери предмет