На числовой прямой даны три отрезка: и . Какова наименьшая возможная длина интервала , что формулы тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной (за исключением, возможно, конечного числа точек).

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Теория множеств и логика
#Математическая логика

На числовой прямой даны три отрезка: и . Какова наименьшая возможная длина интервала , что формулы тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной (за исключением, возможно, конечного числа точек).

Условие:

На числовой прямой даны три отрезка: $P=[10,15], Q=[10,20]$ и $R=[5,15]$ . Какова наименьшая возможная длина интервала $A$ , что формулы $

\begin{array}{c}(x\in A)\rightarrow(x\in P)и\\ (x\in Q)\rightarrow(x\in R)\end{array}

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной $x$ (за исключением, возможно, конечного числа точек).

Решение:

Рассмотрим формулы, заданные для произвольного x:

F(x) = «если x принадлежит A, то x принадлежит P»,
G(x) = «если x принадлежит Q, то x принадлежит R».

Условие импликации означает, что формула ложна только в том случае, когда посылка истинна, а следствие ложно. То есть:

F(x) ложна тогда и только тогда, когда x ∈ A и x ∉ P.
G(x) ложна тогда и только тогда, когда x ∈ Q и x ∉ R.

Нам даны отрезки P = [10,15], Q = [10,20] и R = [5,15].