На плоскости задано 2025 точек . Преобразование S данной плоскости действует следующим образом: каждую точку данной плоскости отображают симметрично относительно , затем результат - симметрично относительно , потом - симметрично относительно и т.д.,

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Геометрические преобразования

На плоскости задано 2025 точек . Преобразование S данной плоскости действует следующим образом: каждую точку данной плоскости отображают симметрично относительно , затем результат - симметрично относительно , потом - симметрично относительно и т.д.,

Условие:

На плоскости задано 2025 точек $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2025}$ . Преобразование S данной плоскости действует следующим образом: каждую точку $M$ данной плоскости отображают симметрично относительно $A_{l}$ , затем результат - симметрично относительно $A_{2}$ , потом - симметрично относительно $A_{3}$ и т.д., наконец, симметрично относительно $A_{2025}$ , и получая точку $S(M)$ .

Сколько на плоскости может быть таких точек $M$ , что $S(M)=M$ (то есть точек, которые при отображении $S$ переходят сами в себя)?

Решение:

Рассмотрим отражение относительно точки A: оно переводит точку M в точку 2A – M.

Пусть f_i обозначает отражение относительно точки A_i, тогда S = f_2025 ∘ f_2024 ∘ … ∘ f_1. Каждое отражение является изометрией, и их композиция также – изометрия. При этом свойство отражения относительно точки такое, что f_i(M) = 2A_i – M.

Заметим, что отражение является аффинным преобразованием, имеющим вид M → –M + 2A. При композиции двух отражений, например, f_...