На стороне треугольника взята произвольная точка . Через нее проведены прямые параллельные медианам и до пересечения со сторонами треугольника в точках и . Доказать, что точка , середина отрезка и центр тяжести треугольника лежат на одной прямой.

Пусть треугольник ABC, на стороне AC выбран произвольный P, а медианы AM₁ и CM₃ проведены так, что M₁ – середина BC, а M₃ – середина AB. Через точку P проведены прямые, параллельные AM₁ и CM₃, которые пересекают стороны треугольника в точках A₁ и C₁ соответственно. Нужно доказать, что точки P, центр тяжести G треугольника и середина отрезка A₁C₁ лежат на одной прямой.

Для доказательства удобно ввести координаты. Примем:

  A = (0, 0), B = (b, 0) и C = (c₁, c₂), где c₂ ≠
0.
  Сторона AC – от (0,0) до (c₁, c₂). Выберем точку P на AC в виде P = (λc₁, λc₂)...