Определите, какая из данных геометрических прогрессий сходится. Вычислите сумму сходящейся геометрической прогрессии.

Добавлена: 30.04.2026
Обновлена: 30.04.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Условие:

Определите, какая из данных геометрических прогрессий сходится. Вычислите сумму сходящейся геометрической прогрессии.

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}$

Решение:

1. Дано

Даны две бесконечные суммы, представляющие собой геометрические прогрессии:

$S_1 = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}$
$S_2 = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}$

2. Найти

Определить, какая из сумм ( $S_1$ или $S_2$ ) сходится.
Вычислить сумму сходящейся прогрессии.

3. Решение

Бесконечная геометрическая прогрессия $\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}$ или $\sum_{n=1}^{\infty} b r^n$ сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение её знаменателя $r$ строго меньше единицы, то есть $|r| < 1$ .