Шар касается трех ребер куба, содержащих одну вершину, и проходит через вершину куба, противолежащую первой. Найти радиус шара, если ребро куба равно а.

Решение задачи о шаре, касающемся ребер куба

1. Дано

1. Куб с ребром $a$.
2. Шар касается трех ребер куба, исходящих из одной вершины $O$.
3. Шар проходит через вершину $D$, противолежащую вершине $O$.

2. Найти

Радиус шара $R$.

3. Решение

Для удобства введем систему координат. Поместим вершину $O$ (точку касания трех ребер) в начало координат $(0, 0, 0)$. Ребра куба направим вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

Пусть вершины куба имеют следующие координаты:

• $O = (0, 0, 0)$ — вершина, из которой выходят касающиеся ребра.
• Вершина $D$, противолежащая $O$, имеет координаты $D = (a, a, a)$...