Составить уравнения прямой, проходящей через т. и и указать какая из т. лежит на этой прямой: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Сделать чертеж.

Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две точки $M_{1}(1 ; 1 ; -1)$ и $M_{2}(2 ; -1 ; 3)$, мы будем использовать векторное уравнение прямой и параметрическое уравнение.

1. Найдем вектор направления прямой: Вектор направления $\vec{d}$ можно найти, вычитая координаты точки $M_{1}$ из координат точки $M_{2}$:

   $$\vec{d} = M_{2} - M_{1} = (2 - 1, -1 - 1, 3 - (-1)) = (1, -2, 4).$$

2. Запишем векторное уравнение прямой: Векторное уравнение прямой, проходящей через точку $M_{1}$ с направлением $\vec{d}$:

   $$\vec{r}(t) = \vec{M_{1}} + t \cdot \vec{d} = (1, 1, -1) + t \cdot (1, -2, 4).$$
   Это уравнение можно записать в параметрической форме:
   $$x = 1 + t,$$
   ...