1. Главная
  2. Библиотека
  3. Геометрия
  4. Точки и являются вершинами тетраэдра. Поверить, что точ...
Разбор задачи

Точки и являются вершинами тетраэдра. Поверить, что точки не лежат в одной плоскости. Найти: объём тетраэдра; длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; уравнение плоскости, проходящей через точки .

  • Предмет: Геометрия
  • Автор: Кэмп
  • #Аналитическая геометрия
  • #Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Точки и являются вершинами тетраэдра. Поверить, что точки не лежат в одной плоскости. Найти: объём тетраэдра; длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины ; расстояние между скрещивающимися рёбрами и ; уравнение плоскости, проходящей через точки .

Условие:

Точки A(0;0;1),B(−2;1;0),C(−1;1;1)A(0 ; 0 ; 1), B(-2 ; 1 ; 0), C(-1 ; 1 ; 1) и D(−1;−1;1)D(-1 ;-1 ; 1) являются вершинами тетраэдра. Поверить, что точки A,B,C,DA, B, C, D не лежат в одной плоскости. Найти:

  • объём тетраэдра;
  • длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины DD;
  • расстояние между скрещивающимися рёбрами ADA D и BCB C;
  • уравнение плоскости, проходящей через точки A,B,CA, B, C.

Решение:

  1. Проверка, что точки A,B,C,DA, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Для проверки, что четыре точки не лежат в одной плоскости, можно использовать определитель, составленный из координат этих точек. Если определитель не равен нулю, то точки не лежат в одной плоскости.

Составим матрицу:

∣\nx1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z41∣=∣0011−2101−1111−1−111∣ \begin{vmatrix}\nx_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}

Вычислим определитель:

  1. Разложим по первой строке:
=1⋅∣−211−111−1−11∣ = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix}
  1. Вычислим этот определитель:
=1⋅(−2∣11−11∣−1∣−11−11∣+1∣−11−1−1∣) = 1 \cdot \left( -2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \right)

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для проверки, лежат ли четыре точки в одной плоскости?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?

Воспользуйся поиском

AI помощники

Больше о Кэмпе

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я