Три окружности с радиусами, равными 1, 2 и 3, касаются друг друга внешним образом так, что каждая из них касается остальных двух. Четвертая окружность касается внешним образом первых трех. Найти ее радиус.

Пусть у нас есть три окружности с радиусами r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 3. Тогда их кривизны (k = 1/радиус) равны соответственно k₁ = 1, k₂ = 1/2, k₃ = 1/3.

По теореме Декарта (теорема о касающихся кругах) для четырех взаимно касающихся окружностей выполняется соотношение:

  k₄ = k₁ + k₂ + k₃ + 2√(k₁k₂ + k₂k₃ + k₃k₁)

Важно заметить, что существует две ветви решения – одна даёт отрицательную кривизну (окружность, охватывающая остальные), а другая – положительную. Поскольку четвертая окруж...