В окружность радиуса 1 см вписаны квадрат и равносторонний треуголь-ник. Чему равно отношение площади треугольника к площади квадрата?

Чтобы найти отношение площади равностороннего треугольника к площади квад...

Квадрат, вписанный в окружность, имеет свои вершины на окружности. Радиус окружности равен 1 см. Для квадрата, вписанного в окружность, длина его стороны $a$ может быть найдена по формуле:

$$a = r \sqrt{2}$$

где $r$ — радиус окружности. Подставим значение радиуса:

$$a = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ см}$$

Теперь найдем площадь квадрата $S_{к}$:

$$S_{к} = a^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ см}^2$$

Для равностороннего треугольника, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ равен 1 см. Связь между стороной $b$ равностороннего треугольника и радиусом описанной окружности дается формулой:

$$b = R \cdot \sqrt{3}$$

Подставим значение радиуса:

$$b = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см}$$

Теперь найдем площадь равностороннего треугольника $S_{т}$:

$$S_{т} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$

Теперь найдем отношение площади треугольника к площади квадрата:

$$\text{Отношение} = \frac{S{к}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$

Таким образом, отношение площади равностороннего треугольника к площади квадрата равно:

$$\frac{3\sqrt{3}}{8}$$