В остроугольном неравнобедренном треугольнике точки и - точки Шалтая и Болтая, соответствующие вершине . Докажите, что радикальная ось окружности девяти точек треугольника и педальной окружности точки параллельна прямой .

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Геометрия
Автор: Кэмп

#Дифференциальная геометрия
#Геометрия многообразий

В остроугольном неравнобедренном треугольнике точки и - точки Шалтая и Болтая, соответствующие вершине . Докажите, что радикальная ось окружности девяти точек треугольника и педальной окружности точки параллельна прямой .

Условие:

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $A B C$ точки $P$ и $Q$ - точки Шалтая и Болтая, соответствующие вершине $A$ . Докажите, что радикальная ось окружности девяти точек треугольника $A B C$ и педальной окружности точки $P$ параллельна прямой $P Q$ .

Решение:

Обозначим через O центр описанной окружности треугольника ABC, через H – его ортцентр, через N – центр девятиточечной окружности. Заметим, что N – середина отрезка OH.
Пусть через A проведена медиана, а её проекция ортценра – точка P (точка Шалтая). Аналогично, проведя через A симедиану, получаем её проекцию центра описанной окружности – точку Q (точка Болтая).
Выберем для точки P её педальную окружность – то есть окружность, проходящую через точки оснований перпендикуляров, опущенных с P на стороны треугольника. Обозначим эту окружность через ωP, а девяти...