Задача 1. В call-центре 3 оператора. Интенсивность звонков 15 звонков/час. Каждый оператор обрабатывает звонки с интенсивностью 7 звонков/час. Определите: 1) Вероятность отказа (все операторы заняты). 2) Среднюю длину очереди.

Для решения данной задачи мы будем использовать модель массового обслуживания M/M/c, где:

• M — означает, что поступление звонков происходит по пуассоновскому закону.
• M — означает, что время обслуживания звонков распределено...

1. :

   $$\mu_{total} = c \cdot \mu = 3 \cdot 7 = 21 \text{ звонков/час}$$

2. :

   $$\rho = \frac{\lambda}{\mu_{total}} = \frac{15}{21} \approx 0.7143$$

Для системы M/M/c вероятность того, что все операторы заняты (P₀) можно вычислить по формуле:

P{n=0}^{c} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!}}

где $\frac{\lambda}{\mu} = \frac{15}{7} \approx 2.142857$.

Теперь вычислим сумму:

$$\sum_{n=0}^{3} \frac{(2.142857)^n}{n!} = \frac{(2.142857)^0}{0!} + \frac{(2.142857)^1}{1!} + \frac{(2.142857)^2}{2!} + \frac{(2.142857)^3}{3!}$$

1. $n=0$: $\frac{(2.142857)^0}{0!} = 1$
2. $n=1$: $\frac{(2.142857)^1}{1!} \approx 2.142857$
3. $n=2$: $\frac{(2.142857)^2}{2!} \approx \frac{4.591836}{2} \approx 2.295918$
4. $n=3$: $\frac{(2.142857)^3}{3!} \approx \frac{9.857 \approx 9.857}{6} \approx 1.642857$

Теперь суммируем:

$$1 + 2.142857 + 2.295918 + 1.642857 \approx 7.081632$$

Теперь подставим в формулу для P₀:

$$P_0 = \frac{1}{7.081632} \approx 0.141$$

Средняя длина очереди (Lq) в системе M/M/c рассчитывается по формуле:

$$L0$$

Где:

• $\frac{\lambda}{\mu} = 2.142857$
• $\rho = 0.7143$
• $c! = 3! = 6$

Теперь подставим значения:

$$L_q = \frac{(2.142857)^3 \cdot 0.7143}{6 \cdot (1 - 0.7143)^2} \cdot 0.141$$

1. $(2.142857)^3 \approx 9.857$
2. $1 - 0.7143 \approx 0.2857$
3. $(0.2857)^2 \approx 0.0816$

Теперь подставим:

$$L_q = \frac{9.857 \cdot 0.7143}{6 \cdot 0.0816} \cdot 0.141$$

$$L_q = \frac{7.052}{0.4896} \cdot 0.141 \approx 14.396 \cdot 0.141 \approx 2.030$$

1. Вероятность отказа (все операторы заняты) $P_0 \approx 0.141$ или 14.1%.
2. Средняя длина очереди $L_q \approx 2.030$ звонков.