Найти работу силы F(x,y,z) по замкнутому контуру L. 𝑭⃗ = 𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 + 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌⃗ 𝑳: { 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡) 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] 𝑭⃗ = 4𝑦𝒊 − 3𝑥𝒋 + 𝑥𝒌⃗ 𝑥 = 4 cos 𝑡 𝑳: {𝑦 = 4 sin 𝑡 𝑧 = 4 − 4 cos 𝑡 − 4 sin

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Динамика материальной точки и системы
#Математические методы в механике

Условие:

Найти работу силы F(x,y,z) по замкнутому контуру L.
𝑭⃗ = 𝐹𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 + 𝐹𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 + 𝐹𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌⃗
𝑳: { 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡) 𝑡 ∈ [0; 2𝜋]
𝑭⃗ = 4𝑦𝒊 − 3𝑥𝒋 + 𝑥𝒌⃗
𝑥 = 4 cos 𝑡
𝑳: {𝑦 = 4 sin 𝑡
𝑧 = 4 − 4 cos 𝑡 − 4 sin

Решение:

Чтобы найти работу силы $\mathbf{F}$ по замкнутому контуру $L$ , воспользуемся формулой для работы:

\nA = \oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l}

где $d\mathbf{l} = (dx, dy, dz) = (x'(t) dt, y'(t) dt, z'(t) dt) = (x'(t), y'(t), z'(t)) dt$ .

Шаг 1: Запишем вектор силы $\mathbf{F}$ и его компоненты:

Дано:

\mathbf{F} = 4y \mathbf{i} - 3x \mathbf{j} + x \mathbf{k}

Шаг 2: Найдем производные $x'(t)$ , $y'(t)$ и $z'(t)$ .

Записано:

\nx = 4 \cos t

\ny = 4 \sin t

\nz = 4 - 4 \cos t - 4 \sin t

Теперь найдем производные:

\nx'(t) = \frac{dx}{dt} = -4 \sin t

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод наиболее эффективен для вычисления работы силы по замкнутому контуру в трёхмерном пространстве, если заданы векторное поле силы и параметрические уравнения контура?

Непосредственное вычисление криволинейного интеграла второго рода.

Применение теоремы Остроградского-Гаусса.

Использование формулы Грина на плоскости.