Определить собственный кватернион в подвижных осях при развороте твердого тела на угол тангажа υ = 30°, затем на угол рыскания ψ = 30°.

Чтобы определить собственный кватернион для подвижных осей при развороте твердого тела на угол тангажа (pitch) υ = 30° и затем на угол рыскания (ya...

Сначала преобразуем углы из градусов в радианы: - υ = 30° = $\frac{\pi}{6}$ радиан - ψ = 30° = $\frac{\pi}{6}$ радиан

Кватернион для вращения на угол θ вокруг оси z (рыскание) можно записать как:

$$q_z = \left( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right)$$

Для угла ψ = 30°:

$$q_z = \left( \cos\left(\frac{\pi/6}{2}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\pi/6}{2}\right) \right)$$

$$q_z = \left( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right), 0, 0, \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \right)$$

$$q_z = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$$

Кватернион для вращения на угол θ вокруг оси y (тангаж) можно записать как:

$$q_y = \left( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right), 0, \sin\left(\frac{\theta}{2}\right), 0 \right)$$

Для угла υ = 30°:

$$q_y = \left( \cos\left(\frac{\pi/6}{2}\right), 0, \sin\left(\frac{\pi/6}{2}\right), 0 \right)$$

$$q_y = \left( \cos\left(\frac{\pi}{12}\right), 0, \sin\left(\frac{\pi}{12}\right), 0 \right)$$

$$q_y = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, 0 \right)$$

Теперь мы перемножим кватернионы $qz$ для получения итогового кватерниона $q$:

$$q = qz$$

Формула для умножения двух кватернионов $q1, x1, z2 = (w2, y2)$:

$$q = (w2 - x2 - y2 - z2,$$

$$w2 + x2 + y2 - z2,$$

$$w2 - x2 + y2 + z2,$$

$$w2 + x2 - y2 + z2)$$

Подставим значения кватернионов $qz$:

• $q_y = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, 0 \right)$
• $q_z = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$

Теперь подставим в формулу:

1. $w = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 0 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0 - 0$
2. $x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - 0$
3. $y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - 0 + 0 + 0 \cdot 0$
4. $z = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

После вычислений мы получим итоговый кватернион $q$.

Таким образом, собственный кватернион для заданного разворота твердого тела на угол тангажа 30° и угол рыскания 30° будет:

$$q = (w, x, y, z)$$

Собственный кватернион для разворота твердого тела на угол тангажа 30° и угол рыскания 30° можно выразить как:

$$q = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, 0 \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, 0, 0, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$$

Это и будет искомый кватернион.