Пластина вращается с угловой скоростью 𝜔=𝜔(𝑡), заданной в таблице К3. По пластине вдоль прямой АМ движется точка М со скоростью 𝑣=𝑣(𝑡) ( направление вектора скорости 𝑣⃗ указано на чертеже). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в

Для решения задачи о движении точки М на вращающейся пластине, давайте разберем все шаги по порядку.

Шаг 1: Определение угловой скорости и линейной скорости

1. Угловая скорость:
\[
\omega(t) = 4t \quad \text{(рад/с)}
\]
В момент времени \( t = 1 \) с:
\[
\omega(1) = 4 \cdot 1 = 4 \, \text{рад/с}
\]

2. Линейная с...: \[ v(t) = 60(t^2 + 2t) \quad \text{(см/с)} \] В момент времени \( t = 1 \) с: \[ v(1) = 60(1^2 + 2 \cdot 1) = 60(1 + 2) = 60 \cdot 3 = 180 \, \text{см/с} \] Поскольку точка М движется вдоль прямой АМ, и угол \( \alpha = 45^\circ \), мы можем определить координаты точки М в момент времени \( t = 1 \) с. - Длина отрезка \( b = 20 \, \text{см} \) (расстояние от центра вращения до точки М). - Положение точки М в полярной системе координат: \[ x_M = b \cdot \cos(\alpha) = 20 \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \, \text{см} \] \[ y_M = b \cdot \sin(\alpha) = 20 \cdot \sin(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \, \text{см} \] Абсолютная скорость точки М состоит из двух компонентов: линейной скорости \( \vec{v} \) и угловой скорости \( \vec{v}_{\text{угловая}} \). 1. \( \vec{v} \): Направление линейной скорости совпадает с направлением движения точки М, то есть под углом \( 45^\circ \): \[ \vec{v} = 180 \, \text{см/с} \cdot \begin{pmatrix} \cos(45^\circ) \\ \sin(45^\circ) \end{pmatrix} = 180 \cdot \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = 90\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, \text{см/с} \] 2. \( \vec{v}_{\text{угловая}} \): Угловая скорость создает линейную скорость, направленную перпендикулярно радиусу: \[ \vec{v}_{\text{угловая}} = \omega \cdot r \cdot \begin{pmatrix} -\sin(\alpha) \\ \cos(\alpha) \end{pmatrix} = 4 \cdot 20 \cdot \begin{pmatrix} -\sin(45^\circ) \\ \cos(45^\circ) \end{pmatrix} = 80 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = -40\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \, \text{см/с} \] Теперь сложим векторы скорости: \[ \vec{v}{\text{угловая}} = \begin{pmatrix} 90\sqrt{2} \\ 90\sqrt{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -40\sqrt{2} \\ 40\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\sqrt{2} \\ 130\sqrt{2} \end{pmatrix} \, \text{см/с} \] Абсолютное ускорение точки М состоит из двух компонентов: линейного ускорения и углового ускорения. 1. : Линейное ускорение \( \vec{a} \) можно найти, используя производную от скорости: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[60(t^2 + 2t)] = 60(2t + 2) = 120(t + 1) \] В момент времени \( t = 1 \): \[ a(1) = 120(1 + 1) = 240 \, \text{см/с}^2 \] 2. : Угловое ускорение \( \alpha \) (производная угловой скорости): \[ \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = 4 \, \text{рад/с}^2 \] Линейное ускорение от углового ускорения: \[ \vec{a}_{\text{угловая}} = \alpha \cdot r \cdot \begin{pmatrix} -\sin(\alpha) \\ \cos(\alpha) \end{pmatrix} = 4 \cdot 20 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = -40\sqrt{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \, \text{см/с}^2 \] Сложим векторы ускорения: \[ \vec{a}{\text{угловая}} = \begin{pmatrix} 240 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -40\sqrt{2} \\ 40\sqrt{2} \end{pmatrix} \] Теперь у нас есть абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени \( t = 1 \) с. - : \[ \vec{v}_{\text{абсолютная}} = \begin{pmatrix} 50\sqrt{2} \\ 130\sqrt{2} \end{pmatrix} \, \text{см/с} \] - : \[ \vec{a}_{\text{абсолютная}} = \begin{pmatrix} 240 - 40\sqrt{2} \\ 0 + 40\sqrt{2} \end{pmatrix} \, \text{см/с}^2 \] Теперь вы можете нарисовать векторы скорости и ускорения на чертеже, чтобы визуализировать движение точки М.