Точка движется по заданной траектории по закону s ( t ) = − 6 + 5 t − t 2 м. В момент времени t = 1 c нормальное ускорение равно a n = 5 м/с2. Радиус кривизны траектории ρ (м) в данный момент равен … ?

4 декабря 2025
Теоретическая механика

#Динамика материальной точки и системы
#Кинематика и динамика твердого тела

Условие:

Точка движется по заданной траектории по закону
s
(
t
)
=
−
6
+
5
t
−
t
2
м.
В момент времени
t
=
1
c нормальное ускорение равно
a
n
=
5
м/с2.

Радиус кривизны траектории
ρ
(м) в данный момент равен … ?

Решение:

Для нахождения радиуса кривизны траектории $\rho$ в момент времени $t = 1$ с заданной функцией перемещения $s...

Скорость $v(t)$ — это первая производная функции перемещения по времени:

v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-6 + 5t - t^2) = 5 - 2t

Теперь подставим $t = 1$ :

v(1) = 5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3 \, \text{м/с}

Ускорение $a(t)$ — это вторая производная функции перемещения по времени:

a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 2t) = -2 \, \text{м/с}^2

Нормальное ускорение $a_n$ связано с радиусом кривизны и скоростью:

a_n = \frac{v^2}{\rho}

Мы знаем, что в момент времени $t = 1$ нормальное ускорение равно $a_n = 5 \, \text{м/с}^2$ и скорость $v(1) = 3 \, \text{м/с}$ .

Подставим известные значения в формулу:

5 = \frac{3^2}{\rho}

Решим уравнение для $\rho$ :

5 = \frac{9}{\rho}

Умножим обе стороны на $\rho$ :

5\rho = 9

Теперь разделим обе стороны на 5:

\rho = \frac{9}{5} = 1.8 \, \text{м}

Радиус кривизны траектории в момент времени $t = 1$ равен $\rho = 1.8 \, \text{м}$ .

Не нашел нужную задачу?

Воспользуйся поиском

AI помощники

Больше о Кэмпе

Выбери предмет

EVIEWS

SPSS

Естествознание

Ценообразование и оценка бизнеса

Черчение