Ф.И.О. студента: Группа: 52 Точка ( M ) движется относительно тела ( D ). По заданным уравнениям относительного движения точки ( M ) и движения тела ( D ) определить для момента времени ( t=t_{1} ) абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Для решения задачи нам нужно найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки $M$ в момент времени $t = t_1 = \frac{3}{2}$ с ...

Сначала найдем скорость точки $M$ относительно тела $D$. Для этого нам нужно взять производную уравнения относительного движения точки $M$ по времени $t$:

$$s_{r}(t) = 75 \pi \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)$$

Находим производную:

v{r}}{dt} = 75 \pi \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = 25 \pi^2 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right)

Теперь подставим $t = \frac{3}{2}$:

$$v_{r}\left(\frac{3}{2}\right) = 25 \pi^2 \cos\left(\frac{\pi \cdot \frac{3}{2}}{3}\right) = 25 \pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 25 \pi^2 \cdot 0 = 0 \, \text{см/с}$$

Теперь найдем скорость тела $D$ по его уравнению:

$$x_{e}(t) = t^3 + 2t + 100$$

Находим производную:

v{e}}{dt} = 3t^2 + 2

Подставим $t = \frac{3}{2}$:

$$v_{e}\left(\frac{3}{2}\right) = 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2 = 3 \cdot \frac{9}{4} + 2 = \frac{27}{4} + 2 = \frac{27}{4} + \frac{8}{4} = \frac{35}{4} \, \text{см/с}$$

Абсолютная скорость точки $M$ определяется как сумма относительной скорости и скорости тела $D$:

$$v{r} + v_{e} = 0 + \frac{35}{4} = \frac{35}{4} \, \text{см/с}$$

Теперь найдем абсолютное ускорение точки $M$. Для этого сначала найдем ускорение точки $M$ относительно тела $D$:

a{r}}{dt} = -25 \pi^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{25 \pi^3}{3} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)

Подставим $t = \frac{3}{2}$:

$$a_{r}\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{25 \pi^3}{3} \sin\left(\frac{\pi \cdot \frac{3}{2}}{3}\right) = -\frac{25 \pi^3}{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{25 \pi^3}{3} \cdot 1 = -\frac{25 \pi^3}{3} \, \text{см/с}^2$$

Теперь найдем ускорение тела $D$:

a{e}}{dt^2} = 6t

Подставим $t = \frac{3}{2}$:

$$a_{e}\left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \, \text{см/с}^2$$

Абсолютное ускорение точки $M$ определяется как сумма относительного ускорения и ускорения тела $D$:

$$a{r} + a_{e} = -\frac{25 \pi^3}{3} + 9$$

Таким образом, абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки $M$ в момент времени $t = \frac{3}{2}$ составляют:

• Абсолютная скорость $M$: $\frac{35}{4} \, \text{см/с}$
• Абсолютное ускорение $M$: $-\frac{25 \pi^3}{3} + 9 \, \text{см/с}^2$