Закон движения точки, лежащей на ободе колеса, катящегося равномерно по горизонтальному пути (вдоль оси ), имеет вид , где А м. Найти путь, пройденный точкой за время .

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Теоретическая механика
Автор: Кэмп

#Динамика материальной точки и системы
#Кинематика и динамика твердого тела

Закон движения точки, лежащей на ободе колеса, катящегося равномерно по горизонтальному пути (вдоль оси ), имеет вид , где А м. Найти путь, пройденный точкой за время .

Условие:

Закон движения точки, лежащей на ободе колеса, катящегося равномерно по горизонтальному пути (вдоль оси $X$ ), имеет вид $x=A(\omega \cdot t-\sin \omega \cdot t) ; y=A(1-\cos \omega \cdot t)$ , где А $=5$ м. Найти путь, пройденный точкой за время $t_{1}=\frac{2 \pi}{\omega}$ .

Решение:

Рассмотрим уравнения движения точки:

x = A · (ω·t – sin(ω·t)),
y = A · (1 – cos(ω·t)),
где A = 5 м.

Наша задача – найти длину пути L, пройденного точкой за время t₁ = (2π)/ω.

Шаг 1. Вычислим производные по времени:

dx/dt = d/dt {A · (ωt – sin(ωt))} = A · (ω – ω · cos(ωt)) = Aω · [1 – cos(ωt)];
dy/dt = d/dt {A · (1 – cos(ωt))} = A · (ω · sin(ωt)) = Aω · sin(ωt).

Шаг 2. Найдём модуль скорости (дифференциальную длину дуги):
ds/dt = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²]...