Простым сдвигом называется деформация сплошной среды, отвечающая закону движения , где эйлеровы декартовы координаты, - лагранжевы координаты, - заданная функция времени, причем . Вычислить компоненты векторов перемещения при простом сдвиге. Определить

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Теория машин и механизмов
Автор: Кэмп

#Динамика машин
#Механизмы и передачи

Простым сдвигом называется деформация сплошной среды, отвечающая закону движения , где эйлеровы декартовы координаты, - лагранжевы координаты, - заданная функция времени, причем . Вычислить компоненты векторов перемещения при простом сдвиге. Определить

Условие:

Простым сдвигом называется деформация сплошной среды, отвечающая закону движения $x_{1}=a_{1}+b(t) a_{2}, x_{2}=a_{2}, x_{3}=a_{3}$ , где $x_{i} \quad-\quad$ эйлеровы декартовы координаты, $a_{i}$ - лагранжевы координаты, $b(t)$ - заданная функция времени, причем $b(0)=0$ . Вычислить компоненты векторов перемещения при простом сдвиге. Определить компоненты тензоров деформаций Грина и Альманзи, выражая их через производные от перемещений. Вычислить тензор малых деформаций.

Решение:

Вычисление компонентов векторов перемещения:

Перемещение $u_i$ в точке, заданной лагранжевыми координатами $a_i$ , можно выразить как:
$u_1 = x_1 - a_1 = b(t) a_2$

$u_2 = x_2 - a_2 = a_2 - a_2 = 0$

$u_3 = x_3 - a_3 = a_3 - a_3 = 0$

Таким образом, векторы перемещения имеют вид:
$\mathbf{u} = (b(t) a_2, 0, 0)$
Определение компонентов тензоров деформаций Грина и Альманзи:

Тензор деформаций Грина $\mathbf{E}$ определяется как:
$E_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} + \delta_{ij} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \right)$

Для вычисления компонентов тензора Грина, сначала найдем производные перемещений:
- $\frac{\partial u_1}{\partial x_1} = 0$
- $\frac{\partial u_1}{\partial x_2} = b(t)$
- $\frac{\partial u_1}{\partial x_3} = 0$
- $\frac{\partial u_2}{\partial x_1} = 0$
- $\frac{\partial u_2}{\partial x_2} = 0$
- $\frac{\partial u_2}{\partial x_3} = 0$
- $\frac{\partial u_3}{\partial x_1} = 0$
- $\frac{\partial u_3}{\partial x_2} = 0$
- $\frac{\partial u_3}{\partial x_3} = 0$
Теперь подставим эти производные в формулу для тензора Грина:
$E_{11} = 0, \quad E_{22} = 0, \quad E_{33} = 0$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Как определяются компоненты вектора перемещения при простом сдвиге, если закон движения задан как $ x_{1}=a_{1}+b(t) a_{2}, x_{2}=a_{2}, x_{3}=a_{3} $?

Компоненты вектора перемещения $u_i$ определяются как $u_i = x_i$ .