Груз 1 массой прикреплен к нерастяжимой нити, переброшенной через блок 2 массой и намотанной на барабан 3 катка 4, который может катиться со скольжением по наклонным направляющим, образующим угол с горизонтом. Барабан 3 радиусом жестко связан с катком 4

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Моделирование управляемых процессов
#Теория динамических систем

Груз 1 массой прикреплен к нерастяжимой нити, переброшенной через блок 2 массой и намотанной на барабан 3 катка 4, который может катиться со скольжением по наклонным направляющим, образующим угол с горизонтом. Барабан 3 радиусом жестко связан с катком 4

Условие:

Груз 1 массой $m_{1}$ прикреплен к нерастяжимой нити, переброшенной через блок 2 массой $m_{2}$ и намотанной на барабан 3 катка 4, который может катиться со скольжением по наклонным направляющим, образующим угол $\alpha$ с горизонтом. Барабан 3 радиусом $R$ жестко связан с катком 4 радиусом $r=R / 3$ , их общая масса равна $m_{3}$ , центр масс $C$ барабана и катка лежит на оси катка, их общий радиус инерции относительно оси катка $\rho=2 r$ . Коэффициент трения скольжения между катком и наклонными направляющими $f$ . К катку 4 через вторую нерастяжимую нить приложена постоянная сила $\bar{F}$ . Блок 2 считать однородным цилиндром, трением на оси $B$ блока и трением качения пренебречь. Принять, что при заданных значениях физических параметров системы сила трения скольжения направлена в положительном направлении оси $x$ .

Приняв за обобщённые координаты $q_{1}=x_{C}$ и $q_{2}=\varphi$ , составить дифференциальные уравнения движения механической системы с помощью «Уравнений Лагранжа 2-го рода».

Решение:

Ниже приведём пошаговое построение уравнений движения системы с двумя независимыми обобщёнными координатами, обозначенными как
q₁ = x_C – перемещение центра масс катка (то есть барабана с катком) вдоль наклонных направляющих,
q₂ = φ – угол поворота барабана (и катка), измеряемый относительно выбранного начального положения.

Мы будем пользоваться методом Лагранжа 2-го рода, то есть запишем лагранжиан L = T – V, где T – полная кинетическая энергия системы, V – полная потенциальная энергия, а затем запишем уравнения
d/dt(∂L/∂q̇ᵢ) – ∂L/∂qᵢ = Qᵢ, <br /...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое выражение для кинетической энергии груза массой $ m_1 $ будет использовано в уравнениях Лагранжа 2-го рода, если обобщённые координаты $ q_1 = x_C $ (перемещение центра масс катка) и $ q_2 = \varphi $ (угол поворота барабана), а связь скоростей груза и катка выражается как $ \dot{y} = -(\dot{q}_1 + R\dot{q}_2) $?