Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева.

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Теория динамических систем
#Кибернетика и управление

Условие:

Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева. $

\begin{array}{l}\nx^{\prime}=y-x+x y \\ y^{\prime}=x-y-x^{2}-y^{3} \end{array}

Решение:

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x′ = y – x + x·y
y′ = x – y – x² – y³

необходимо исследовать устойчивость нулевого решения (x, y) = (0, 0) с помощью функции Ляпунова.

─────────────────────────────

Выбор функции Ляпунова

Обычно в таких случаях удобно взять квадратичную функцию
V(x, y) = ½ (x² + y²).
Эта функция положительно определена, то есть V(x, y) > 0 для всех (x, y) ≠ (0, 0) и V(0, 0) =
0.

─────────────────────────────
Вычисление производной функции...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство функции Ляпунова V(x, y) и её производной V̇(x, y) вдоль траекторий системы необходимо для установления асимптотической устойчивости нулевого решения?

V(x, y) должна быть положительно определена, а V̇(x, y) — отрицательно определена.

V(x, y) должна быть положительно определена, а V̇(x, y) — отрицательно полуопределена, причем V̇(x, y) = 0 только в нулевом решении.

V(x, y) должна быть отрицательно определена, а V̇(x, y) — положительно определена.