Маховик с начальной угловой скоростью начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.

Рассмотрим маховик с моментом инерции I, у которого на нем действует тормозной момент, пропорциональный √ω, то есть M = –c√ω, где c > 0 – константа пропорциональности. Знак минус означает, что момент направлен против вращения.

1. Запишем уравнение вращательного движения:
     I (dω/dt) = –c√ω.
   
   
2. Разделим переменные:
     dω/√ω = –(c/I) dt.
   
   
3. Интегрируем уравнение, меняя переменные от начального состояния ω = ω₀ при t = 0 до полного останова ω = 0 при t = T:
     ∫₍ω₀₎⁰ dω/√ω = –(c/I) ∫₀ᵀ dt.
   
   Находим интеграл в левой части....