В однородной прямоугольной мембране часть границы свободна, а остальная часть закреплена. Найти поперечные колебания мембраны, вызванные распределенной по мембране поперечной силой с плотностью .

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Теория управления
Автор: Кэмп

#Моделирование управляемых процессов
#Теория динамических систем

В однородной прямоугольной мембране часть границы свободна, а остальная часть закреплена. Найти поперечные колебания мембраны, вызванные распределенной по мембране поперечной силой с плотностью .

Условие:

В однородной прямоугольной мембране $0 \leq x \leq p, 0 \leq y \leq q$ часть границы $x=0,0 \leq$ $y \leq q$ свободна, а остальная часть закреплена. Найти поперечные колебания мембраны, вызванные распределенной по мембране поперечной силой с плотностью $f(x, y, t)=B(p-$ $x) \sin (\pi y / q) \sin t$ .

Решение:

Постановка задачи

Нам дана однородная прямоугольная мембрана, занимающая область

0 ≤ x ≤ p, 0 ≤ y ≤ q.

На её границе условие зацепления (закреплённость) выполняется за исключением стороны x = 0 (при 0 ≤ y ≤ q), которая является свободной (без закрепления). Таким образом, условия на границе следующие:

– Для x = p, y ∈ [0, q]: закреплённая грань – условие Дирихле: u(p, y, t) =
0.
– Для y = 0 и y = q, x ∈ [0, p]: закреплённая грань – u(x, 0, t) = u(x, q, t) =
0.
– Для x = 0, y ∈ [0, q]: свободная грань. Для...