Цилиндром над топологическим пространством называется прямое произведение . Докажите, что, для каждого , подмножество замкнуто и гомеоморфно пространству . Кроме того, гомеоморфно факторпространству цилиндра по некоторому отношению эквивалентности. По

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория множеств и логика
#Топология

Цилиндром над топологическим пространством называется прямое произведение . Докажите, что, для каждого , подмножество замкнуто и гомеоморфно пространству . Кроме того, гомеоморфно факторпространству цилиндра по некоторому отношению эквивалентности. По

Условие:

Цилиндром над топологическим пространством $X$ называется прямое произведение $X \times$ $[0 ; 1]$ . Докажите, что, для каждого $t \in[0 ; 1]$ , подмножество $X \times\{t\} \subset X \times[0 ; 1]$ замкнуто и гомеоморфно пространству $X$ . Кроме того, $X$ гомеоморфно факторпространству цилиндра $X \times[0 ; 1]$ по некоторому отношению эквивалентности. По какому?

Решение:

Рассмотрим цилиндр над топологическим пространством X, то есть произведение X×[0;1]. Необходимо доказать два утверждения:

Для каждого фиксированного t∈[0;1] подмножество X×{t} замкнуто в X×[0;1] и гомеоморфно X.
Существует отношение эквивалентности на X×[0;1], фактор по которому дает пространство, гомеоморфное X.

Пошаговое решение:

Шаг 1. Докажем, что X×{t} замкнуто в X×[0;1].

Рассмотрим проекцию на второй коэффициент pr₂: X×[0;1] → [0;1], определенную формулой pr₂(x,s)=s. Известно, что проекция на любое произведение с ф...