Дано совместное распределение двух случайных величин (таблица). Являются ли независимыми случайные величины X и Y?

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Условие:

Дано совместное распределение двух случайных величин (таблица). Являются ли независимыми случайные величины X и Y?

\begin{array}{|c|l|l|} \hline $X$ & -2 & 0 \\ \hline -3 & 0,06 & 0,14 \\ \hline -2 & 0,06 & 0,24 \\ \hline 1 & 0,18 & 0,32 \\ \hline \end{array}

Решение:

Чтобы определить, являются ли случайные величины X и Y независимыми, нужно проверить, выполняется ли условие независимости. Случайные величины X и Y независимы, если для всех значений x и y выполняется следующее равенство:
\nP(X = x, Y = y) = P(X = x) * P(Y = y)

Для начала, найдем полные вероятности P(X = x) и P(Y = y).

Найдем P(X = -2):\nP(X = -2) = P(X = -2, Y = -3) + P(X = -2, Y = 0) = 0,06 + 0,14 = 0,20
Найдем P(X = 0):\nP(X = 0) = P(X = 0, Y = -3) + P(X = 0, Y = 0) = 0,06 + 0,24 = 0,30
Найдем P(X = 1):\nP(X = 1) = P(X = 1, Y = -3) + P(X = 1, Y = 0) = 0,18 + 0,32 = 0,50

Теперь у нас есть полные вероятности для X:\nP(X = -2) = 0,20\nP(X = 0) = 0,30\nP(X = 1) = 0,50

Теперь найдем полные вероятности P(Y = y).
Найдем P(Y = -3):\nP(Y = -3) = P(X = -2, Y = -3) + P(X = 0, Y = -3) + P(X = 1, Y = -3) = 0,06 + 0,06 + 0,18 = 0,30
Найдем P(Y = 0):\nP(Y = 0) = P(X = -2, Y = 0) + P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = 0,14 + 0,24 + 0,32 = 0,70

Теперь у нас есть полные вероятности для Y:\nP(Y = -3) = 0,30\nP(Y = 0) = 0,70

Теперь проверим условие независимости для всех пар (x, y):
Для (X = -2, Y = -3):\nP(X = -2, Y = -3) = 0,06\nP(X = -2) *...