Условие:
Задача 6. Доказать асимптотическую эффективность исправленной выборочной дисперсии в случае нормального распределения.
Решение:
Мы докажем, что исправленная выборочная дисперсия
S² = (1/(n–1))·∑₁ⁿ (Xᵢ – X̄)²
является асимптотически эффективной оценкой параметра σ² при выборке X₁, …, Xₙ из распределения N(μ, σ²).
Ниже приведём подробное рассуждение.
─────────────────────────────
- Свойства исправленной выборочной дисперсии
Известно, что если X₁, …, Xₙ – выборка из N(μ, σ²), то с помощью результата о распределении суммы квадратов
Q = (n–1)S²/σ²
получаем, что Q имеет распределение χ² с n–1 степенями свободы (χ²ₙ₋₁). Из этого следует, что
E(S²) = σ²
то есть S² является несмещённой оценкой σ².
Также д...