Доказать, что если каждая из случайных величин
ξ
ξ и
η
η принимает только два значения, то из равенства
E
ξ
η
=
E
ξ
E
η
Eξη=EξEη вытекает независимость
ξ
ξ и
η
η. Построить контрпример, когда из равенства не следует независимость
Ниже приведено подробное решение задачи.
──────────────────────────────
Предположим, что случайные величины ξ и η принимают по два значения. Обозначим для ξ значения a и b, при этом
P(ξ = a) = p и P(ξ = b) = 1 – p,
а для η значения c и d, при этом
P(η = c) = q и P(η = d) = 1 – q.
Обозначим совместное распределение через четыре вероятности:
r = P(ξ = a, η = c),
s = P(ξ = a, η = d) = p – r,
t = P(ξ = b, η = c) = q – r,
u = P(ξ = b, η = d) = 1 – p – q + r.
Найдём математические ожидания: Eξ = a·p + b...