Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегу функций (заданных с точностью до множества меры нуль) не существует метрики, сходимость в которой совпадает со сходимостью почти всюду.

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория измеримых множеств

Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегу функций (заданных с точностью до множества меры нуль) не существует метрики, сходимость в которой совпадает со сходимостью почти всюду.

Условие:

Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегу функций $[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ (заданных с точностью до множества меры нуль) не существует метрики, сходимость в которой совпадает со сходимостью почти всюду.

Решение:

Для доказательства того, что в пространстве измеримых по Лебегу функций $[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ не существует метрики, сходимость в которой совпадает со сходимостью почти всюду, рассмотрим последовательность функций, которая будет служить контрпримером.

Определим последовательность функций. Рассмотрим последовательность функций $f_n(x) = \frac{x}{n}$ для $x \in [0, 1]$ . Эта последовательность функций сходится к функции $f(x) = 0$ почти всюду, так как для любого $x \in [0, 1]$ при $n \to \infty$ $f_n(x) \to 0$ .
Сходимость по мере. Теперь рассм...