Двумерная случайная величина в квадрате 0≤x≤1, 0≤y≤1 задана плотностью распределения: f(x,y)=C(1+x2y2), где C - неизвестный коэффициент. Вычислить коэффициент корреляции величин X и Y . Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до тысячных;

Для решения задачи, давайте сначала найдем коэффициент \( C \), чтобы плотность распределения \( f(x, y) \) была нормированной. Затем мы вычислим математические ожидания \( E[X] \), \( E[Y] \), \( E[XY] \) и, наконец, коэффициент корреляции.

Шаг 1: Нормировка плотности распределения

Плотность распределения должна удовлетворять условию:

\[
\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = 1,
\]

где \( D \) — это область \( 0 \leq x \leq 1 \) и \( 0 \leq y \leq 1 \).

Подставим \( f(x, y) = C(1 + x^2y^2) \):

\[
\iint{D} C(1 + x^2y^2) \, dx \, dy = C \iint{D} (1 + x^2y^2) \, dx \, dy = 1.
\]

Теперь вычислим интеграл:

\[
\iint{D} (1 + x^2...0^1 \int_0^1 (1 + x^2y^2) \, dx \, dy. \] Разделим интеграл на два: \[ \int0^1 1 \, dx \, dy + \int0^1 x^2y^2 \, dx \, dy. \] Первый интеграл: \[ \int0^1 1 \, dx \, dy = \int_0^1 1 \, dy = 1. \] Второй интеграл: \[ \int0^1 x^2y^2 \, dx \, dy = \int0^1 x^2 \, dx \right) dy. \] Вычислим внутренний интеграл: \[ \int0^1 = \frac{1}{3}. \] Теперь подставим это значение во внешний интеграл: \[ \int0^1 y^2 \, dy = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}. \] Теперь сложим оба интеграла: \[ 1 + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}. \] Таким образом, получаем: \[ C \cdot \frac{10}{9} = 1 \implies C = \frac{9}{10}. \] Теперь мы можем вычислить математические ожидания \( E[X] \), \( E[Y] \) и \( E[XY] \). \[ E[X] = \iint{D} x(1 + x^2y^2) \, dx \, dy. \] Разделим интеграл: \[ E[X] = \frac{9}{10} \left( \int0^1 1 \, dy + \int0^1 x^3 \, dx \right) dy \right). \] Первый интеграл: \[ \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}. \] Второй интеграл: \[ \int0^1 = \frac{1}{4}. \] Теперь подставим: \[ E[X] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 + \int_0^1 y^2 \cdot \frac{1}{4} \, dy \right). \] Вычислим второй интеграл: \[ \int_0^1 y^2 \cdot \frac{1}{4} \, dy = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}. \] Теперь подставим: \[ E[X] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \right) = \frac{9}{10} \left( \frac{6}{12} + \frac{1}{12} \right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{7}{12} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40}. \] Из симметрии \( E[Y] = E[X] = \frac{21}{40} \). \[ E[XY] = \iint{D} xy(1 + x^2y^2) \, dx \, dy. \] Разделим интеграл: \[ E[XY] = \frac{9}{10} \left( \int0^1 y \, dy + \int0^1 x^3 \, dx \right) dy \right). \] Первый интеграл: \[ \int0^1 y \, dy = \frac{1}{2}. \] Второй интеграл: \[ \int_0^1 y^3 \, dy = \frac{1}{4}. \] Теперь подставим: \[ E[XY] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \right) = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{16} \right). \] Сложим: \[ \frac{1}{4} = \frac{4}{16} \implies E[XY] = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{16} = \frac{45}{160} = \frac{9}{32}. \] Коэффициент корреляции \( \rho \) вычисляется по формуле: \[ \rho = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}. \] Сначала найдем \( Var(X) \): \[ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2. \] Вычислим \( E[X^2] \): \[ E[X^2] = \iint{D} x^2(1 + x^2y^2) \, dx \, dy. \] Разделим интеграл: \[ E[X^2] = \frac{9}{10} \left( \int0^1 1 \, dy + \int0^1 x^4 \, dx \right) dy \right). \] Первый интеграл: \[ \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}. \] Второй интеграл: \[ \int0^1 = \frac{1}{5}. \] Теперь подставим: \[ E[X^2] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \right) = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \right). \] Сложим: \[ \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \implies E[X^2] = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{15} = \frac{72}{150} = \frac{24}{50} = \frac{12}{25}. \] Теперь найдем \( Var(X) \): \[ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{12}{25} - \left( \frac{21}{40} \right)^2. \] Вычислим \( (E[X])^2 \): \[ \left( \frac{21}{40} \right)^2 = \frac{441}{1600}. \] Теперь найдем общий знаменатель: \[ Var(X) = \frac{12}{25} - \frac{441}{1600} = \frac{768}{1600} - \frac{441}{1600} = \frac{327}{1600}. \] Так как \( Var(Y) = Var(X) \), то \( Var(Y) = \frac{327}{1600} \). Теперь подставим все значения в формулу для корреляции: \[ \rho = \frac{\frac{9}{32} - \frac{21}{40} \cdot \frac{21}{40}}{\sqrt{\frac{327}{1600} \cdot \frac{327}{1600}}}. \] Вычислим \( E[X]E[Y] \): \[ E[X]E[Y] = \frac{21}{40} \cdot \frac{21}{40} = \frac{441}{1600}. \] Теперь подставим: \[ \rho = \frac{\frac{9}{32} - \frac{441}{1600}}{\frac{327}{1600}}. \] Вычислим числитель: \[ \frac{9}{32} = \frac{450}{1600} \implies \rho = \frac{\frac{450}{1600} - \frac{441}{1600}}{\frac{327}{1600}} = \frac{\frac{9}{1600}}{\frac{327}{1600}} = \frac{9}{327}. \] Теперь вычислим: \[ \rho \approx 0,0275. \] Округляем до тысячных: \[ \rho \approx 0,027. \] Коэффициент корреляции величин \( X \) и \( Y \) равен \( 0,027 \).