Двумерная случайная величина в квадрате 0≤x≤1, 0≤y≤1 задана плотностью распределения: f(x,y)=C(1+x2y2), где C - неизвестный коэффициент. Вычислить коэффициент корреляции величин X и Y . Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до тысячных;

Для решения задачи, давайте сначала найдем коэффициент $C$, чтобы плотность распределения $f(x, y)$ была нормированной. Затем мы вычислим математические ожидания $E[X]$, $E[Y]$, $E[XY]$ и, наконец, коэффициент корреляции.

Шаг 1: Нормировка плотности распределения

Плотность распределения должна удовлетворять условию:

$
\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = 1,
$

где $D$ — это область $0 \leq x \leq 1$ и $0 \leq y \leq 1$.

Подставим $f(x, y) = C(1 + x^2y^2)$:

$
\iint{D} C(1 + x^2y^2) \, dx \, dy = C \iint{D} (1 + x^2y^2) \, dx \, dy = 1.
$

Теперь вычислим интеграл:

$
\iint{D} (1 + x^2...0^1 \int_0^1 (1 + x^2y^2) \, dx \, dy. $

Разделим интеграл на два:

$$\int0^1 1 \, dx \, dy + \int0^1 x^2y^2 \, dx \, dy.$$

Первый интеграл:

$$\int0^1 1 \, dx \, dy = \int_0^1 1 \, dy = 1.$$

Второй интеграл:

\int0^1 x^2y^2 \, dx \, dy = \int0^1 x^2 \, dx \right) dy.

Вычислим внутренний интеграл:

$$\int0^1 = \frac{1}{3}.$$

Теперь подставим это значение во внешний интеграл:

$$\int0^1 y^2 \, dy = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}.$$

Теперь сложим оба интеграла:

$$1 + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}.$$

Таким образом, получаем:

$$C \cdot \frac{10}{9} = 1 \implies C = \frac{9}{10}.$$

Теперь мы можем вычислить математические ожидания $E[X]$, $E[Y]$ и $E[XY]$.

$$E[X] = \iint{D} x(1 + x^2y^2) \, dx \, dy.$$

Разделим интеграл:

E[X] = \frac{9}{10} \left( \int0^1 1 \, dy + \int0^1 x^3 \, dx \right) dy \right).

Первый интеграл:

$$\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}.$$

Второй интеграл:

$$\int0^1 = \frac{1}{4}.$$

Теперь подставим:

$$E[X] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 + \int_0^1 y^2 \cdot \frac{1}{4} \, dy \right).$$

Вычислим второй интеграл:

$$\int_0^1 y^2 \cdot \frac{1}{4} \, dy = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}.$$

Теперь подставим:

$$E[X] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \right) = \frac{9}{10} \left( \frac{6}{12} + \frac{1}{12} \right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{7}{12} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40}.$$

Из симметрии $E[Y] = E[X] = \frac{21}{40}$.

$$E[XY] = \iint{D} xy(1 + x^2y^2) \, dx \, dy.$$

Разделим интеграл:

E[XY] = \frac{9}{10} \left( \int0^1 y \, dy + \int0^1 x^3 \, dx \right) dy \right).

Первый интеграл:

$$\int0^1 y \, dy = \frac{1}{2}.$$

Второй интеграл:

$$\int_0^1 y^3 \, dy = \frac{1}{4}.$$

Теперь подставим:

$$E[XY] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \right) = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{16} \right).$$

Сложим:

$$\frac{1}{4} = \frac{4}{16} \implies E[XY] = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{16} = \frac{45}{160} = \frac{9}{32}.$$

Коэффициент корреляции $\rho$ вычисляется по формуле:

$$\rho = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}.$$

Сначала найдем $Var(X)$:

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.$$

Вычислим $E[X^2]$:

$$E[X^2] = \iint{D} x^2(1 + x^2y^2) \, dx \, dy.$$

Разделим интеграл:

E[X^2] = \frac{9}{10} \left( \int0^1 1 \, dy + \int0^1 x^4 \, dx \right) dy \right).

Первый интеграл:

$$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}.$$

Второй интеграл:

$$\int0^1 = \frac{1}{5}.$$

Теперь подставим:

$$E[X^2] = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \right) = \frac{9}{10} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \right).$$

Сложим:

$$\frac{1}{3} = \frac{5}{15} \implies E[X^2] = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{15} = \frac{72}{150} = \frac{24}{50} = \frac{12}{25}.$$

Теперь найдем $Var(X)$:

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{12}{25} - \left( \frac{21}{40} \right)^2.$$

Вычислим $(E[X])^2$:

$$\left( \frac{21}{40} \right)^2 = \frac{441}{1600}.$$

Теперь найдем общий знаменатель:

$$Var(X) = \frac{12}{25} - \frac{441}{1600} = \frac{768}{1600} - \frac{441}{1600} = \frac{327}{1600}.$$

Так как $Var(Y) = Var(X)$, то $Var(Y) = \frac{327}{1600}$.

Теперь подставим все значения в формулу для корреляции:

$$\rho = \frac{\frac{9}{32} - \frac{21}{40} \cdot \frac{21}{40}}{\sqrt{\frac{327}{1600} \cdot \frac{327}{1600}}}.$$

Вычислим $E[X]E[Y]$:

$$E[X]E[Y] = \frac{21}{40} \cdot \frac{21}{40} = \frac{441}{1600}.$$

Теперь подставим:

$$\rho = \frac{\frac{9}{32} - \frac{441}{1600}}{\frac{327}{1600}}.$$

Вычислим числитель:

$$\frac{9}{32} = \frac{450}{1600} \implies \rho = \frac{\frac{450}{1600} - \frac{441}{1600}}{\frac{327}{1600}} = \frac{\frac{9}{1600}}{\frac{327}{1600}} = \frac{9}{327}.$$

Теперь вычислим:

$$\rho \approx 0,0275.$$

Округляем до тысячных:

$$\rho \approx 0,027.$$

Коэффициент корреляции величин $X$ и $Y$ равен $0,027$.