Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину , распределенную по закону Парето с функцией распределения вероятностей чтобы получить случайную величину Y , имеющую экспоненциальный закон распределения .

Мы хотим получить случайную величину Y с экспоненциальным законом (с параметром λ), то есть с функцией распределения

  F_Y(y) = 1 – e^(–λy),  y ≥
0.

При этом X имеет закон Парето с функцией распределения

  F_X(x) =
    0,      x < 1,
    1 – 1/x²,  x ≥
1.

Для нахождения преобразования воспользуемся методом изменения меры через функцию распределения.

Шаг 1. Выразим функцию обратного преобразования

Любая случайная величина X с непрерывной функцией распределения удовлетворяет
  U = F_X(X) ~ Uniform(0,1).
Аналогично, если U ~ Uniform(0,1), то случайная величина

  Y = –(1/λ) ln(1 – U)

будет иметь экспоненциальное распределение с параметром λ, так как
  P(Y ≤ y) = P(–(1/λ) ln(1 – U) ≤ y) = 1 – e^(–λy).

Шаг 2. Подставим выражение для U через X

Из функции распределения X имеем для x ≥ 1:
  F_...