1. Главная
  2. Библиотека
  3. Теория вероятностей
  4. Let X and Y be two jointly continuous random variables...
Разбор задачи

Let X and Y be two jointly continuous random variables with joint PDF (x,y)=⎧⎩⎨⎪⎪x+cy200≤x≤1,0≤y≤1otherwise the constant c. P(0≤X≤12,0≤Y≤12)

  • Предмет: Теория вероятностей
  • Автор: Кэмп
  • #Теория случайных величин
Let X and Y be two jointly continuous random variables with joint PDF (x,y)=⎧⎩⎨⎪⎪x+cy200≤x≤1,0≤y≤1otherwise the constant c. P(0≤X≤12,0≤Y≤12)

Условие:

Let X and Y be two jointly continuous random variables with joint PDF
\nfXY(x,y)=⎧⎩⎨⎪⎪x+cy200≤x≤1,0≤y≤1otherwise
\nFind the constant c.
\nFind P(0≤X≤12,0≤Y≤12)

Решение:

Шаг 1: Найдем константу cc

Совместная функция плотности вероятности должна удовлетворять условию:

∫−∞∞∫−∞∞fXY(x,y) dy dx=1 \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x,y) \, dy \, dx = 1

В нашем случае функция плотности задана как:

fXY(x,y)={\nx+cyдля 0≤x≤1, 0≤y≤10в противном случае f_{XY}(x,y) = \begin{cases} \nx + cy & \text{для } 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{в противном случае} \end{cases}

Теперь вычислим двойной интеграл:

∫01∫01(x+cy) dy dx \int_0^1 \int_0^1 (x + cy) \, dy \, dx

Сначала вычислим внутренний интеграл по yy:

∫01(x+cy) dy=∫01x dy+∫01cy dy \int_0^1 (x + cy) \, dy = \int_0^1 x \, dy + \int_0^1 cy \, dy

Первый интеграл:

∫01x dy=x⋅y∣01=x \int_0^1 x \, dy = x \cdot y \bigg|_0^1 = x

Второй интеграл:

∫01cy dy=c⋅y22∣01=c2 \int_0^1 cy \, dy = c \cdot \frac{y^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{c}{2}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство совместной функции плотности вероятности (joint PDF) используется для нахождения константы c?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я