На фабрике собрано 1000 шестеренка с номерами от 1 до 1000. За один цикл работы можно разбить шестеренка на произвольные пары, и каждую пару заменить на две новые: одна с числом, равными сумме номеров в паре, другая -их разности( не обязательно вычитать меньшее из большего). Все замены происходят одновременно.
Докажите, что после любого количества таких операций никогда больше не окажется снова 1000 шестеренок с последовательными номерами
Мы покажем, что после каждой операции не меняется определённая “2‑адическая” характеристика суммы квадратов номеров, а для 1000 подряд идущих чисел она имеет значение, несовместимое с изменениями, возникающими при выполнении описанной операции.
Пусть в момент времени имеются какие-то числа на шестерёнках. Рассмотрим произвольную пару чисел a и b. При операции эта пара заменяется двумя новыми числами: (a+b) и (a–b) (обратите внимание, знак можно выбрать произвольным, главное – два числа: сумма и разность). Найдём сумму их квадратов:
(a+b)² + (a–b)² = (a² + 2ab + b²) + (a² – 2ab + b²) = 2a² ...