Показать, что оператор , действующий на векторы пространства следующим образом: , является линейным и найти матрицы оператора в базисах и .

Дано

1. Векторное пространство $V = \mathbb{R}^3$.
2. Вектор $x = (x_1, x_2, x_3) \in V$.
3. Линейный оператор $A: V \rightarrow V$, заданный как:
   $$Ax = (x_1, x_1 + x_3, x_2 - x_3)$$
4. Стандартный базис $\varepsilon = \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.
5. Новый базис $\varepsilon^{\prime} = \{\vec{e}_1^{\prime}, \vec{e}_2^{\prime}, \vec{e}_3^{\prime}\}$, где:

• $\vec{e}_1^{\prime} = \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} = (1, 1, -2)$

• $\vec{e}_2^{\prime} = \vec{i} - \vec{j} = (1, -1, 0)$

• $\vec{e}_3^{\prime} = \vec{j} + \vec{k} = (0, 1, 1)$

Найти

1. Доказать, ч...