Показать, что для любой дискретной случайной величины , для которой существует , выполнено

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Показать, что для любой дискретной случайной величины , для которой существует , выполнено

Условие:

Показать, что для любой дискретной случайной величины $\xi$ , для которой существует $\mathbb{E}\left(\xi^{2}\right)$ , выполнено

\inf _{a \in \mathbb{R}} \mathbb{E}|\xi-a|^{2}=\mathbb{E}(\xi-\mathbb{E} \xi)^{2}

Решение:

Рассмотрим произвольное число a ∈ ℝ. Необходимо найти минимум от математического ожидания квадрата разности |ξ – a|².

Шаг 1. Выразим |ξ – a|² через отклонение от математического ожидания. Запишем:

ξ – a = (ξ – Eξ) + (Eξ – a).

Шаг 2. Возведем в квадрат и возьмем математическое ожидание:

E|ξ – a|² = E[(ξ – Eξ + Eξ – a)²]...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство математического ожидания используется для упрощения выражения E|ξ – a|² при доказательстве того, что инфимум E|ξ – a|² равен дисперсии случайной величины?

E(cξ) = cE(ξ), где c — константа

E(ξ – Eξ) = 0

E(ξ + η) = E(ξ) + E(η)