Пусть ℱ1 — некоторая подалгебра, определим для всех n множество ℱ n+1 как класс всех множеств, представимых в виде счетного пересечения и счетного объединения множеств из ℱn. Нужно доказать, что рост множеств бесконечен, методом индуктивного перехода

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория меры и интеграла
#Теория измеримых множеств

Условие:

Пусть ℱ1 — некоторая подалгебра, определим для всех n множество ℱ n+1 как класс всех множеств, представимых в виде счетного пересечения и счетного объединения множеств из ℱn. Нужно доказать, что рост множеств бесконечен, методом индуктивного перехода

Решение:

БАЗИС.
Выберем подалгебру ℱ₁ некоторого базового класса (например, открытых или замкнутых множеств в заданном топологическом пространстве, либо любой другой подалгебры). По определению ℱ₂ – это все множества, представимые в виде счётных объединений и пересечений множеств из ℱ₁. Очевидно, ℱ₁ ⊆ ℱ₂, так как каждое множество из ℱ₁ можно записать как тривиальное объединение (содержащее одно слагаемое) или пересечение (в том же смысле), а некоторые множества, получаемые операцией, не принадлежат исходной подалгебре. Таким образом, рост уже на первом шаге наблюдается.
ИД...