Пусть P,Q — независимые случайные равномерно распределенные точки в единичном квадрате. Какова вероятность того, что существует квадрат, со сторонами, параллельными исходному квадрату, и имеющими длину 1/4, внутри которого лежат обе точки?

Шаг 1: Определим область, в которой могут находиться точки $P$ и $Q$.

Пусть $P = (x_1, y_1)$ и $Q = (x_2, y_2)$ — это координаты точек, где $x_1, y_1, x_2, y_2$ равномерно распределены на отрезке $[0, 1]$. Мы хотим найти вероятность того, что обе точки находятся внутри квадрата со стороной $\frac{1}{4}$.

Шаг 2: Определим координаты квадрата.

Квадрат со стороной $\frac{1}{4}$ может быть расположен в любом месте внутри единичного квадрата, но его нижний левый угол должен находиться в пределах: