Пусть имеет стандартное нормальное распределение, а при и при . Доказать, что случайные величины и независимы.

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Пусть имеет стандартное нормальное распределение, а при и при . Доказать, что случайные величины и независимы.

Условие:

Пусть $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение, а $\eta=1$ при $\xi>0$ и $\eta=0$ при $\xi \leqslant 0$ . Доказать, что случайные величины | $\xi \mid$ и $\eta$ независимы.

Решение:

Пусть ξ – стандартная нормально распределённая случайная величина, т.е. её плотность равна φ(x) = 1/√(2π) · exp(–x²/2). Определим η следующим образом: η = 1, если ξ > 0, и η = 0, если ξ ≤
0.

Наша цель – доказать, что случайные величины |ξ| и η независимы. Для этого покажем, что их совместная плотность раскладывается в произведение соответствующих маргинальных плотностей.

Заметим, что функция |ξ| определяется как u = |ξ|. При положительном значении ξ получается u = ξ, а при отрицательном – u = –ξ.
Рассмотрим совместное распределение (|ξ|,...