Сколько существует чисел, девятеричная запись которых состоит из шести цифр, не начинается с нечётных цифр, не оканчивается цифрами 2 и 3 и содержит не менее двух цифр 1?

Для решения задачи начнем с анализа условий, которые должны выполняться для чисел в девятеричной системе счисления.

1. Шестизначные числа: Число должно состоять из шести цифр. В девятеричной системе цифры могут принимать значения от 0 до 8.

2. Не начинается с нечётных цифр: В девятеричной системе нечётные цифры —...

Сначала найдем общее количество шестизначных чисел, которые соответствуют первым двум условиям (не начинаются с нечётных и не оканчиваются на 2 и 3).

• Первая цифра: 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).
• Последняя цифра: 7 вариантов (0, 1, 4, 5, 6, 7, 8).
• Четыре промежуточные цифры могут быть любыми из 0-8 (всего 9 вариантов для каждой).

Таким образом, общее количество чисел без учета условия о цифре 1:

N = 5 × 9 × 7

Теперь нам нужно учесть условие о том, что в числе должно быть не менее двух единиц. Мы можем использовать метод включения-исключения.

1. : Это количество, которое мы уже нашли, обозначим его как N.

2. : Чтобы найти количество чисел с ровно одной единицей, мы можем выбрать одну из пяти позиций (вторая, третья, четвертая, пятая, шестая) для единицы. Первая и последняя цифры выбираются так же, как и раньше, но теперь одна из промежуточных цифр фиксирована как 1.

• Выбор позиции для 1: 5 вариантов.
• Первая цифра: 5 вариантов.
• Последняя цифра: 7 вариантов.
• Остальные 3 цифры могут быть любыми из 0-8 (всего 9 вариантов для каждой).

Таким образом, количество чисел с ровно одной единицей:

N = 5 × 9 × 5 × 7

3. : Это количество чисел, в которых нет единиц. Мы можем выбрать первую и последнюю цифры, как и раньше, но теперь все промежуточные цифры могут быть выбраны из 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (всего 8 вариантов для каждой).

Таким образом, количество чисел с нулем единиц:

N = 5 × 8 × 7

Теперь мы можем найти количество чисел с двумя и более единицами:

N1 - N

Теперь подставим значения:

1. N = 5 × 9 × 7 = 5 × 6561 × 7 = 230235
2. N = 5 × 9 × 5 × 7 = 5 × 729 × 5 × 7 = 12735
3. N = 5 × 8 × 7 = 5 × 4096 × 7 = 143360

Теперь подставим в формулу:

N = 230235 - 12735 - 143360 = 74340

Таким образом, количество чисел, девятеричная запись которых состоит из шести цифр, не начинается с нечётных цифр, не оканчивается цифрами 2 и 3 и содержит не менее двух цифр 1, составляет .