Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения Найти интегральную функцию, математическое ожидание и дисперсию .

1. Нахождение интегральной функции распределения $F(x)$:

Интегральная функция распределения $F(x)$ определяется как интеграл функции плотности $f(x)$ от (-\infty) до $x$. В нашем случае, так как $f(x) = 0$ при $x < 3$ и $x > 5$, мы можем записать:

• При $x < 3$: $F(x) = 0$

• При $3 \leq x < 5$: $F(x) = \int_{3}^{x} f(t) \, dt = \int_{3}^{x} \frac{1}{50}\left(\frac{3}{4} t^{2}+6 t-\frac{45}{4}\right) dt$

Для нахождения этого интеграла, вычислим его:

Вычислим интеграл:

Теперь подставим пределы интегрирования от 3 до $x$:

Вычислим значение в нижнем пределе:

Таким образом, $F(x)$ при $3 \leq x < 5$:

• При $x = 5$: $F(5) = 1$

Таким образом, интегральная функция распределения:

2. Нахождение математического ожидания $E(X)$:

Математическое ожидание вычисляется по формуле: