В системе за обслуживание без ожидания каждый клиент платит руб. Интенсивность поступающего потока зависит от и равна . Интенсивность обслуживания постоянна и равна . Вычислите следующие характеристики обслуживания: ) вероятность немедленного обслуживания

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория очередей

В системе за обслуживание без ожидания каждый клиент платит руб. Интенсивность поступающего потока зависит от и равна . Интенсивность обслуживания постоянна и равна . Вычислите следующие характеристики обслуживания: ) вероятность немедленного обслуживания

Условие:

В системе $M / M / 1 / \infty$ за обслуживание без ожидания каждый клиент платит $C$ руб. Интенсивность поступающего потока зависит от $C$ и равна $\lambda=\lambda(C)=\Lambda\cdot e^{-\gamma C}$ . Интенсивность обслуживания постоянна и равна $\mu$ .

Вычислите следующие характеристики обслуживания:\na) вероятность немедленного обслуживания $\beta$ ; б) математическое ожидание и дисперсию числа заявок в системе; в) математическое ожидание и дисперсию длины очереди; г) математическое ожидание и дисперсию времени ожидания начала обслуживания; д) математическое ожидание и дисперсию времени пребывания в системе.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline $\Lambda$ & $\mu$ & $C$ & $\gamma$ \\ \hline 12 & 3 & 2,5 & 0,9 \\ \hline \end{array}

Решение:

Для решения задачи в системе $M/M/1/\infty$ нам нужно рассмотреть характеристики обслуживания, используя данные из таблицы.

Дано:

Интенсивность потока $\lambda(C) = \Lambda \cdot e^{-\gamma C}$
Интенсивность обслуживания $\mu$
Параметры: $\Lambda = 12$ , $\mu = 3$ , $C = 2.5$ , $\gamma = 0.9$

Вычислим интенсивность потока $\lambda$ :
$\lambda = \Lambda \cdot e^{-\gamma C} = 12 \cdot e^{-0.9 \cdot 2.5}$
Сначала вычислим $e^{-0.9 \cdot 2.5}$ :
$-0.9 \cdot 2.5 = -2.25 \quad \Rightarrow \quad e^{-2.25} \approx 0.1054$
Те...