ероятность рождения мальчика равна 0,512 . Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет: а) 51 мальчик; б) больше мальчиков, чем девочек.

Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (100 новорожденных), два возможных ис...

Вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик, можно вычислить по формуле биномиального распределения:

$$P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

где:

• $C(n, k)$ — биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$,
• $k = 51$.

Подставим значения:

1. Вычислим биномиальный коэффициент $C(100, 51)$:

$$C(100, 51) = \frac{100!}{51! \cdot (100 - 51)!} = \frac{100!}{51! \cdot 49!}$$

2. Теперь подставим все в формулу:

$$P(X = 51) = C(100, 51) \cdot (0,512)^{51} \cdot (0,488)^{49}$$

3. Используя калькулятор или программное обеспечение, можно вычислить:

• $C(100, 51) \approx 1,008913 \times 10^{29}$
• $(0,512)^{51} \approx 1,024 \times 10^{-6}$
• $(0,488)^{49} \approx 1,024 \times 10^{-6}$

4. Умножим все вместе:

$$P(X = 51) \approx 1,008913 \times 10^{29} \cdot 1,024 \times 10^{-6} \cdot 1,024 \times 10^{-6}$$

5. После вычислений получаем:

$$P(X = 51) \approx 0,079$$

Это означает, что количество мальчиков должно быть больше 50. То есть, мы ищем:

$$P(X 50) = P(X = 51) + P(X = 52) + ... + P(X = 100)$$

Для вычисления этой вероятности проще воспользоваться свойством симметрии биномиального распределения и нормальным приближением.

1. Найдем среднее и стандартное отклонение:

$$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0,512 = 51,2$$

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0,512 \cdot 0,488} \approx 4,95$$

2. Применим нормальное приближение:

Для нахождения $P(X 50)$ мы можем использовать стандартное нормальное распределение:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Для $X = 50$:

$$Z = \frac{50 - 51,2}{4,95} \approx -0,242$$

3. Теперь найдем $P(Z -0,242)$. Используя таблицы стандартного нормального распределения, мы находим:

$$P(Z -0,242) \approx 0,594$$

Таким образом, вероятность того, что среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек, составляет примерно 0,594.

а) Вероятность рождения 51 мальчика: примерно 0,079.
б) Вероятность рождения больше мальчиков, чем девочек: примерно 0,594.