Условие:
В рамках нашей задачи определим моду как нестрогий локальный максимум в абсолютно непрерывном случае.
То есть точка
x
x – мода, если существует проколотая окрестность точки
U
∘
(
x
)
U
∘
(x) такая, что
∀
y
∈
U
∘
(
x
)
∀y∈
U
∘
(x) выполняется
f
(
y
)
≤
f
(
x
)
f(y)≤f(x), где
f
(
x
)
=
p
X
(
x
)
f(x)=p
X
(x) – плотность с. в.
X
X.
Выберите верные утверждения. Пусть с. в.
X
X имеет нормальное распределение, а также
Y
Y имеет нормальное распределение. Тогда
X
+
Y
X+Y снова имеет нормальное распределение.
Сумма экспоненциальных случайных величин имеет экспоненциальное распределение.
Вася предлагает генерировать две случайные величины со средними
5
5 и дисперсиями
9
9. Он заранее посчитал ковариацию и получил
2025
2025. Могло ли быть такое?
Среднее всегда меньше дисперсии.
Дисперсия случайной величины может быть равна нулю.
Для равномерной абсолютно непрерывной случайной величины вероятность попасть в точку равна
0
0, Вася решил проверить это и сгенерировал одно число – получил
1
/
π
1/π. Вася говорит, что это противоречие. Прав ли он?
У абсолютно непрерывного распределения может не быть моды.
Сумма биномиальных случайных величин – снова биномиальная случайная величина.
Количество мод у абсолютно непрерывного распределения может быть бесконечно много.
Корреляция влечет причинно-следственные связи.
Решение:
Ниже разберём по пунктам каждое утверждение, приводя рассуждения. 1. Пусть с.в. X имеет нормальное распределение, а также Y имеет нормальное распределение. Тогда X+Y снова имеет нормальное распределение. Если X и Y – независимые (или вообще, если пара (X,Y) имеет совместное нормальное распределение), то любая линейная комбинация, в том числе X+Y, распределена нормально. Обычно считают, что речь идёт об независимых нормальных величинах, поэтому данное утверждение считается верным. 2. Сумма экспоненциальных случайных величин имеет экспоненциальное распределение. При суммировании независимых эк...